Триъгълник - основные понятия

$A,B,C$ - върхове
$a=BC, b=AC, c=AB$ - стороны
$α, β, γ$ - внутренних углов
$α', β', γ'$ - внешние углы

---

Сборът от дължините на които и да е две страни на триъгълника е по-голям от дължината на третата страна.

$$a+b>c$$ $$b+c>a$$ $$a+c>b$$

---

Сборът на вътрешните ъгли на триъгълника е 180°

$$α+β+γ=180°$$

---

Сборът на външните ъгли на триъгълника е 360°

$$α'+β'+γ'=360°$$

---

Външният ъгъл на всеки ъгъл е равен на сбора на срещулежащите вътрешни ъгли

$$α'=β+γ$$ $$β'=α+γ$$ $$γ'=α+β$$

---

Периметърът (обиколката) на триъгълника е равна на сборът на трите му страни

$$P=a+b+c$$

---

Височини

$h_a, h_b, h_c$ - височини;
$O$ - ортоцентър;

Страните се съотнасят една към друга както височините към тях.

$$a:b:c = 1/h_a:1/h_b:1/h_c$$

Медиани

$P, M, N$ - среди на страните
$m_a, m_b, m_c$ - медиани
$O$ - медицентър

Медицентърът разделя медианите в съотношение 2:1

$$NO:OB = 1:2$$ $$MO:OA = 1:2$$ $$PO:OC = 1:2$$

Намиране на медиана по дължина на страните на триъгълника

$$m_a = 1/2√{2(b^2+c^2)-a^2}$$

---

Намиране на страна по дължина на медианите в триъгълника

$$a=2/3√{2(m_c^2+m_b^2)-m_a^2}$$ $$b=2/3√{2(m_c^2+m_a^2)-m_b^2}$$ $$c=2/3√{2(m_a^2+m_b^2)-m_c^2}$$

Ъглополовящи

$l_a, l_b, l_c$ - ъглополовящи на вътрешните ъгли
$O$ - център на вписаната окръжност

$$l_a=2/{b+c}√{bcp(p-a)}$$

Съотношението в което ъглополовящата разделя страната на триъглъника е равно на съотношението на останалите две страни. Същото важи и за ъглополовящите на външните ъгли.

$$AM : MB = AC : BC$$

Симетрали

$S_a, S_b, S_c$ - симетрали
$O$ - център на описаната окръжност

$$AO=BO=CO=R$$ $$R = {bc}/2h_a = {ac}/2h_b = {ab}/2h_c$$

Средна отсечка

$M$ - среда на $AC$
$N$ - среда на $BC$
$MN$ - средна отсечка

$$MN ∥ AB$$ $$MN = 1/2AB$$

Видове триъгълници

Равнобедрен триъгълник

$$a=b$$ $$α=β$$ $$h_c≡m_c≡l_c$$

Равностранен триъгълник

$$a=b=c$$ $$α=β=γ=60°$$ $$h={a√3}/2$$ $$r=R/2$$ $$h=r+R$$ $$h_a≡m_a≡l_a$$ $$h_b≡m_b≡l_b$$ $$h_c≡m_c≡l_c$$

Прямоугольный треугольник

$γ=90°$
$a,b$ - катетами
$c$ - гипотенуза

$$h^2=a_1b_1$$ $$a^2=ca_1$$ $$b^2=cb_1$$

Теорема Пифагора

$$c^2=a^2+b^2$$

---

Ако $a=b$ то:

$$α=β=45°$$ $$h=c/2$$

Ако α=30° то $a=c/2$